Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; олимпийский чемпион (1960) в весовой категории до 75 кг; 3-кратный чемпион мира (1961, 1962, 1963); бронзовый призер чемпионата мира (1965); 4-кратный чемпион Европы (1960, 1961, 1962, 1963); 3-кратный победитель «Кубка Дружбы» (1959, 1960, 1962); 14-кратный рекордсмен мира.
Родился 8 июля 1934 года в поселке Уршель Владимирской области (Россия).
Поступив в Казанский авиационный институт, Александр Курынов остался жить в столице Татарстана. Здесь он и начал заниматься тяжелой атлетикой.
Одержав несколько ярких побед на международных соревнованиях, в том числе на Олимпиаде в Риме, Курынов самым серьезным образом готовился к Играм в Токио и находился в прекрасной форме.
Так, 27 марта 1964 года в Казани в спортзале клуба имени Менжинского он установил два мировых рекорда - в жиме и сумме троеборья. Непосредственно на сборах перед отправлением на Олимпийские игры Александр установил еще два мировых рекорда. Сборная, чтобы лучше адаптироваться к условиям, в которых будут проходить соревнования, готовилась во Владивостоке. Состязания штангистов должны были пройти на Олимпиаде 11-18 октября, а 24 сентября в морском клубе Тихоокеанского флота Курынов в жиме зафиксировал штангу весом 147,5 кг, а в сумме троеборья набрал 447,5 кг.
Однако в последний момент Александра вывели из сборной, отправив в Японию Виктора Куренцова. Причиной стал давний конфликт между ведущими штангистами того времени с тренерским штабом во главе с Аркадием Воробьевым. Курынов открыто высказался против методов подготовки, практикуемых в сборной, против изнурительных тренировок, которые часто приводили к травмам, за что и поплатился.
Куренцов занял в Токио второе место, а победивший чех Ганс Здражила показал результат, уступавший результату Курынова 20 кг.
В 1965 году Александра вернули в команду и отправили на чемпионат мира. Но в Тегеране тяжелоатлет выступал психологически надломленным и стал в итоге всего лишь бронзовым призером.
Завершив карьеру, Александр Курынов работал в Казани старшим тренером ДСО «Буревестник», затем тренером Казанской школы высшего спортивного мастерства.
Скончался 30 ноября 1973 года в Казани. Похоронен на Арском кладбище, спустя несколько лет перезахоронен на Аллее героев.