Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; серебряный призер чемпионата Европы (1988); обладатель Кубка УЕФА (1990); обладатель Кубка Кубков (1986); 2-кратный чемпион СССР (1985, 1986); 3-кратный обладатель Кубка СССР (1981, 1985, 1987); обладатель Кубка Италии (1990).
Родился 26 апреля 1961 года в Ворошиловграде (Украина).
Воспитанник футбольной школы «Зари», в 1977 году начал играть за дублирующий состав ворошиловградского клуба. 27 апреля 1979 года дебютировал в чемпионате СССР в гостевом матче против тбилисского «Динамо». Заваров вышел на поле в середине второго тайма, а после финального свистка был признан лучшим игроком матча. Скоростной дриблинг невысокого 18-летнего паренька из Ворошиловграда покорил публику.
В составе молодежной сборной Заваров отправился на чемпионат мира в Японию. Здесь советская команда уступила только аргентинцам, в рядах которых уже тогда блистал Диего Марадона.
Потом была служба в армии, которую Заваров проходил в ростовском СКА и успел завоевать Кубок СССР. В финале армейцы играли со «Спартаком», единственный мяч незадолго до окончания основного времени с паса Заварова забил Сергей Андреев. Именно в СКА Заварова переставили с позиции форварда на позицию «под нападающими», откуда он мог эффективно снабжать передачами партнеров.
В 1983 году состоялся переход Александра в лучший на тот момент клуб страны киевское «Динамо». Поначалу дела здесь не заладились, Валерий Лобановский редко выпускал Заварова на поле.
Переломным для футболиста стал 1985 год. Он стал чемпионом страны и дебютировал в составе сборной СССР. Ярким продолжением того сезона стал весенний триумф в Кубке обладателей Кубков. В финале киевляне разгромили мадридский «Атлетико» - 3:0. Счет в этом матче уже на 5 минуте открыл Заваров.
Сборная Советского Союза ярко провела чемпионат мира-1986 и, если бы не обидное поражение в 1/8 финала от Бельгии (3:4, 2:2 - в основное время), могла бы претендовать на большее. По итогам того турнира «Золотой мяч» получил Игорь Беланов, но в Советском Союзе футболистом года признали Александра Заварова.
После блестящего выступления советской сборной на Евро-1988 полузащитника пригласил «Ювентус». Туринцам необходим был игрок, который смог бы в перспективе заменить Мишеля Платини. Платини сам рекомендовал руководителям «старой синьоры» обратить внимание на талантливого советского плеймейкера.
Стать достойным преемником великого француза Заваров не смог. Он никак не мог приспособиться ни к итальянскому футболу, ни к режиму одноразовых тренировок, ни к вниманию прессы.
Перебравшись во Францию, Александр пять сезонов отыграл за скромный «Нанси». Во Франции получил тренерскую лицензию.
В августе 2003 года принял швейцарский «Виль» (акции клуба выкупили бывшие партнеры Заварова Игорь Беланов и Геннадий Перепаденко) и за два года не только вывел провинциальную команду в высшую лигу, но и выиграл Кубок Швейцарии.
В местной прессе, впрочем, в успех «Виля» связали не с тренерским даром Заварова, а с деньгами «русской мафии». Оскорбленный Заваров заявил, что больше не будет работать в Швейцарии.
Потом были короткие периоды пребывания в казахстанском «Женисе», футбольном клубе «Москва», харьковском «Металлисте». Несколько лет Александр Анатольевич возглавлял киевский «Арсенал», а с 2012 года несколько лет входил в тренерский штаб сборной Украины.