Родился 14 июня 1911 года в Варшаве (Польша).
Лев Абрамов в раннем детстве вместе с семьей переехал в Петербург, где и начал заниматься шахматами в годы учебы в Ленинградском строительном институте. В годы Великой Отечественной войны работал в Комитете обороны Советского Союза. В послевоенные годы жил в Москве.
Абрамов занимал должность начальника отдела шахмат Всесоюзного комитета по физической культуре и спорту (1956-1959), был ответственным секретарем (1959-1961), заместителем председателя федерации шахмат СССР (1961-1966), вице-президентом Международной федерации игры в шахматы по переписке (1957-1969).
Кроме того, являлся международным арбитром, шахматным журналистом, автором ряда книг, в частности таких, как «Ботвинник – Таль», «Ход за ходом», «Десять чемпионов мира». Благодаря стараниям Льва Абрамова в СССР появилась система советских рейтингов.
Скончался 29 февраля 2004 года в Москве.