Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; победитель Рабочей Олимпиады (1937); 4-кратный чемпион СССР (1935, 1936 - осень, 1938, 1939); серебряный (1937) и 2-кратный бронзовый (1936 - весна, 1940) призер чемпионатов СССР; 2-кратный обладатель Кубка СССР (1938, 1939); чемпион РСФСР (1931).
Родился 22 октября 1906 года в Москве.
Андрей Старостин - защитник, один из четырех братьев Старостиных, внесших значительный вклад в развитие советского футбола. В юности был всесторонне развит, принимал участие в соревнованиях по лыжным гонкам, легкой атлетике, боксу, теннису и настольному теннису. Но все же предпочтение отдавал футболу, хоккею с мячом и конному спорту.
После февральской революции 1917 года семья Старостиных жила впроголодь, поэтому братья отправились в деревню на сенокос, чтобы как-то заработать на пропитание. После смерти отца от тифа Андрей вернулся в Москву и начал работать помощником слесаря в мастерских, занимавшихся ремонтом тракторов и другой сельскохозяйственной техники.
В футбол играл в свободное время сначала за команду МКС (1922), затем за «Красную Пресню» (1923-1925), «Пищевики» (1926-1930), «Промкооперацию» (1931, 1934), «Дукат» (1932-1933) и «Спартак» (1935-1942). В составе «Спартака» стал четырехкратным чемпионом СССР и двукратным обладателем Кубка страны.
За сборную Советского Союза провел 10 неофициальных матчей.
В 1942 году Андрей Старостин был репрессирован и отправлен в лагерь в Норильск. Здесь он через два года начал тренировать норильское «Динамо» и руководил командой до 1953 года, пока не был реабилитирован.
Андрей Петрович много лет являлся начальником сборной СССР (1960-1964, 1968-1970), занимал посты ответственного секретаря (1959-1961), заместителя председателя (1961-1964) федерации футбола СССР. Был заведующим отделом футбола Всесоюзного Совета ДСО профсоюзов (1964-1967), заведующим отделом спортигр ЦС «Спартак» (1969-1987), председателем тренерского совета федерации футбола СССР (1967-1987), председателем федерации футбола Москвы (1971-1987).
Андрей Старостин приложил немало усилий к тому, чтобы «Спартак» возглавил «динамовец» Константин Бесков, поскольку был уверен, что при этом тренере красно-белые сумеют возродить победные традиции. Старостину удавалось сглаживать все острые углы и долгие годы сохранять в команде дружескую атмосферу.
Скончался 24 октября 1987 года в Москве. Похоронен на Ваганьковском кладбище.