Регалии: Заслуженный мастер спорта; чемпион мира (2005) в весовой категории до 90,7 кг; серебряный призер чемпионата мира (2003); чемпион Европы (2004); 2-кратный чемпион мира среди военнослужащих (2002, 2003); победитель Кубка нефтяных стран (2003); 3-кратный чемпион России (2002, 2003, 2005).
Родился 30 апреля 1981 года в Ташкенте (Узбекистан).
В юности переехал в Самару, уже в эти годы демонстрировал хорошую технику и владел поставленным ударом. В 1999 году выиграл молодежное первенство Европы. На взрослом ринге начал добиваться успеха в 2002 году, выиграв чемпионат России и чемпионат мира среди военнослужащих.
В 2004 году стал чемпионом Европы, одолев каждого из своих соперников за явным преимуществом. На Олимпиаде в Афинах считался одним из главных фаворитов турнира, но на предварительном этапе уступил кубинцу Одланьеру Солису и остался без награды.
В какой-то степени реабилитировался, став чемпионом мира-2005. Сразу после этого объявил о переходе в профессиональный бокс.
Дебютировал 7 января 2006 года боем против чеха Томаша Мражека и в первом же раунде нокаутировал соперника. Первый титул межконтинентального чемпиона по версии WBO завоевал 16 июня 2007 года, снова в первом раунде нокаутировав аргентинца Эктор-Альфредо Авила.
Первое поражение на профессиональном ринге потерпел в своем 17 бою. В январе 2009 года Алексеев проиграл аргентинцу Виктору Рамиресу.
Осенью того же года Александр сменил тренера. Место Фрица Здунека, сосредоточившегося на работе с Виталием Кличко, занял Магомед Шабуров. Под руководством нового наставника Алексеев провел четыре боя, в последнем из которых проиграл Денису Лебедеву.
23 ноября 2013 года после поражения в бою за звание чемпиона мира по версии IBF от Йоана Пабло Эрнандеса объявил о завершении профессиональной карьеры и переходе на должность главы промоутерской компании EC Box Promotion.
Всего за профессиональную карьеру провел 28 боев, одержал 24 победы (20 - нокаутом).