Регалии: Заслуженный мастер спорта; бронзовый призер Олимпийских игр (2000) в командном первенстве; серебряный призер чемпионата Европы (1998); 3-кратный чемпион России в упражнениях на коне (1998), перекладине (1999) и кольцах (1999); серебряный призер чемпионата России в многоборье (1999); серебряный призер чемпионата России в упражнениях на брусьях (1998); бронзовый призер Кубка России в многоборье (1998).
Родился 7 мая 1979 года в Сызрани (Россия).
Максим Алешин начал заниматься гимнастикой в родном городе. Благодаря успешным выступлениям на всероссийских соревнованиях был включен в состав сборной страны. Побеждал на чемпионате России в упражнениях на коне, перекладине и кольцах.
В 1998 году стал серебряным призером чемпионата Европы в командном первенстве. В Санкт-Петербурге россияне всего 0,014 балла уступили французам.
Через два года на Играх-2000 в Сиднее Алешин завоевал бронзу в команде с Алексеем Немовым, Алексеем Бондаренко, Николаем Крюковым, Евгением Подгорным и Дмитрием Древиным. Здесь первенствовала сборная Китая (231,919 балла), серебряным призером стала сборная Украины (230,306 балла), а россияне замкнули тройку призеров (230,019 балла).
После окончания карьеры работал акробатом в Московском государственном цирке, затем перешел на тренерскую работу в специализированной школе гимнастики в родном городе.