Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; Заслуженный тренер СССР; 2-кратный чемпион Москвы (1932 - осень, 1933 - осень). В качестве тренера - 6-кратный чемпион СССР (1940, 1946, 1947, 1948, 1950, 1951); 4-кратный обладатель Кубка СССР (1945, 1948, 1951, 1957).
Родился 21 сентября (9 сентября по старому стилю) 1899 года в Санкт-Петербурге (Российская империя).
Борис Аркадьев в бытность игроком выступал на позиции защитника. Начал играть в 1914 году в Санкт-Петербурге в команде «Унитас». Затем выступал за «Рускабель» Москва (1920-1922), «Сахарники» Москва (1923-1925), РКимА Москва (1926-1930), СиМ и «Металлург» Москва (1931-1936).
В 1925, 1930 и 1931 году играл за сборную Москвы; в 1932 и 1934 году - за сборную ВЦСПС.
С 1922 по 1936 год работал тренером по фехтованию в военной академии имени Фрунзе. Брат-близнец Бориса Аркадьева - Виталий - пошел по этой стезе, стал Заслуженным тренером СССР по фехтованию.
Борис Андреевич начал работать с футбольными командами в 1936 году. Под его руководством московское «Динамо» стало чемпионом страны 1940 года, а ЦДКА — чемпионом СССР 1946, 1947, 1948, 1950 и 1951 годов. Кроме того армейцы Москвы в 1945 и 1949 годах были серебряными, а в 1958 году - бронзовыми призерами чемпионатов страны. Помимо этого ЦДКА (ЦДСА) становился обладателем Кубка СССР в 1945, 1948 и 1951 году, а в 1957 году Аркадьев выиграл Кубок страны с московским «Локомотивом».
В 1952 году (с февраля по июль) был старшим тренером сборной СССР, выступавшей в футбольном турнире Олимпийских игр 1952 года в Хельсинки. В 1959 году был одним из тренеров олимпийской сборной СССР.
Борис Аркадьев - автор книг и методических разработок, ему принадлежит множество новаторских идей в теории футбола. Считается одним из основоположников советской футбольной тренерской школы.
Скончался 17 октября 1986 года в Москве. Похоронен на Востряковском кладбище.