Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; 3-кратный олимпийский чемпион в командном первенстве (1956) и упражнениях на кольцах (1956, 1960); серебряный призер Олимпийских игр (1960) в командном первенстве; 4-кратный чемпион мира в командном первенстве (1954, 1958) и упражнениях на кольцах (1954, 1958); серебряный призер чемпионата мира (1958) в упражнениях на перекладине; 2-кратный чемпион Европы (1955) в упражнениях на перекладине и кольцах; серебряный призер чемпионата Европы (1955) в многоборье.
Родился 11 февраля 1929 года в Караклисе (Армения).
Альберт Азарян рано лишился отца и в юности работал кузнецом. Гимнастикой он начал заниматься лишь в 17-летнем возрасте. Необыкновенная природная физическая сила позволила Альберту быстро войти в число лучших спортсменов Советского Союза, а затем Европы и мира.
Его коронным видом программы были упражнения на кольцах - один из элементов на этом снаряде получил название «крест Азаряна». В 50-е годы мало кому из гимнастов удавалось его повторить, поскольку элемент требовал очень хорошей физической подготовки.
В период с 1952 по 1962 год Альберт Азарян 11 раз становился чемпионом СССР, из них восемь раз в упражнениях на кольцах. В этом же виде программы Азарян первенствовал на Играх-1956 в Мельбурне и Играх-1960 в Риме, а также на двух чемпионатах мира в Риме-1954 и Москве-1958.
Завершив выступления, Альберт Азарян руководил школой спортивной гимнастики в Ереване, а также судил международные соревнования.
В 2000 году журналисты страны признали Азаряна лучшим спортсменом Армении ХХ века. Он дважды удостаивался чести нести флаг Армении на церемониях открытия Олимпиад (Афины-2004 и Пекин-2008). В последние годы возглавлял федерацию спортивной гимнастики Армении.
Сын Альберта Азаряна - Эдуард Азарян - в составе советской сборной стал олимпийским чемпионом на Играх-1980 в Москве.