Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; олимпийский чемпион (1992); чемпион СССР (1989); обладатель Кубка СССР (1989); серебряный (1990) и бронзовый (1991) призер чемпионатов СССР; серебряный призер чемпионата СНГ (1992); победитель первенства мира среди юниоров (1989).
Родился 4 мая 1970 года в городе Ошмяны Гродненской области (Белоруссия).
Андрей Барбашинский выступал на позиции линейного за минский СКА (1988-1993, 1994-1995), испанский "Хувентуд" Алкала (1993-1994), венгерский "Фотекс" Веспрем (1995-1996), немецкие "Гамельн" (1996-1997) и "Эмсдеттен" (1997-2001).
На Играх-1992 в Барселоне выступал за Объединенную команду СНГ, которая завоевала в столице Каталонии золотые медали. На предварительном этапе сборная одержала пять побед над Францией (23:22), Испанией (24:18), Румынией (27:25), Германией (25:15) и Египтом (22:18). В полуфинале Объединенная команда обыграла Исландию (23:19), а в финале - Швецию (22:20).
После завершения карьеры являлся заместителем председателя федерации гандбола Белоруссии.