Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; Заслуженный тренер СССР; олимпийский чемпион (1956). В хоккее - 2-кратный чемпион мира (1954, 1956); 2-кратный серебряный призер чемпионатов мира (1955, 1957); 7-кратный чемпион СССР (1948, 1949, 1950, 1951, 1952, 1955, 1956); 3-кратный серебряный призер чемпионатов СССР (1947, 1954, 1957). В футболе - 4-кратный чемпион СССР (1946, 1947, 1948, 1953); 2-кратный серебряный призер чемпионатов СССР (1945, 1949); 2-кратный обладатель Кубка СССР (1945, 1948). В хоккее с мячом - 2-кратный обладатель Кубка СССР (1945, 1946). В качестве хоккейного тренера - 2-кратный чемпион мира (1973, 1974); серебряный призер чемпионата мира (1972); чемпион СССР (1967); 2-кратный серебряный призер чемпионатов СССР (1965, 1966).
Родился 1 декабря 1922 года в Моршанске Тамбовской губернии (Россия).
В 1925 году семья Бобровых переехала в Сестрорецк, близ Ленинграда. С юных лет Всеволод играл зимой в хоккей, а летом в футбол.
В 1945 году на стадионе «Сталинец» в Черкизове дебютировал в чемпионате СССР и вскоре был включен в состав московского «Динамо», совершившего триумфальное турне по Великобритании. 23-летний Бобров забил 6 голов из 19.
В период 1947-1953 годов Бобров совмещал выступления в футболе с хоккеем. Он был единственным в истории спорта капитаном футбольной и хоккейной олимпийских сборных.
И все же многочисленные травмы заставили Боброва сделать окончательный выбор в пользу хоккея. Тройка нападающих команды Военно-Воздушных Сил Бобров – Шувалов – Бабич была сильнейшей в отечественном хоккее с шайбой.
В 1954 году состоялся дебют сборной СССР на чемпионате мира по хоккею, где она заняла первое место, а Бобров был признан лучшим нападающим мира.
В 1953 году Всеволод Бобров стал главным тренером московского ВВС. Но наибольших успехов в тренерской работе он достиг в 1960-70 годы в московском «Спартаке», ставшем чемпионом СССР в 1967 году, и в сборной СССР, которая под его руководством дважды победила на чемпионатах мира и провела Суперсерию-1972 против канадских профессионалов.
Скончался 1 июля 1979 года. Похоронен на Кунцевском кладбище в Москве.
Именем Всеволода Боброва названы символический клуб бомбардиров (забросившие в официальных матчах не менее 250 шайб) и приз, вручаемый самой результативной команде чемпионата России по хоккею с шайбой.
Его именем также назван один из дивизионов Континентальной хоккейной лиги, а также Ледовый Дворец ХК ЦСКА на Ленинградском проспекте в Москве и построенный в Ступино Ледовый дворец спорта.
В марте 2015 года в городе Моршанске открыта Ледовая арена, тоже названная в честь Всеволода Михайловича Боброва.