Родился 4 декабря 1975 года в Кизилюрте, Дагестан (Россия).
Будун Будунов - нападающий. В футбол пришел достаточно поздно - в 19-летнем возрасте. В юности занимался вольной борьбой, дзюдо и баскетболом.
В махачкалинском «Анжи» дебютировал в 1995 году, играл за команду до 2003 года и в 2007 году. Выступал также за ФК «Москва» (2004-2005), томскую «Томь» (2005) и грозненский «Терек» (2006).
Будун Будунов стал невольным участником трагического инцидента на футбольном поле. 18 августа 2001 в матче с ЦСКА он столкнулся в борьбе за верховой мяч с вратарем армейцев Сергеем Перхуном. В результате оба получили тяжелые травмы головы. Будунов пропустил остаток сезона с сотрясением мозга и частичной амнезией. Перхун же 28 августа скончался в Московском институте нейрохирургии имени Бурденко.
Завершив карьеру игрока, Будунов занял пост заместителя министра спорта Дагестана, президента республиканского футбольного союза.