Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; олимпийский чемпион (1988) в танцах на льду (в паре с Натальей Бестемьяновой); серебряный призер Олимпийских игр (1984); 4-кратный чемпион мира (1985, 1986, 1987, 1988); 3-кратный серебряный (1982, 1983, 1984) и бронзовый (1981) призер чемпионатов мира; 5-кратный чемпион Европы (1983, 1985, 1986, 1987, 1988); 2-кратный серебряный призер чемпионатов Европы (1982, 1984); 3-кратный чемпион СССР (1982, 1983, 1987); 2-кратный серебряный (1980, 1985) и бронзовый (1981) призер чемпионатов СССР.
Родился 10 июня 1957 года в Москве.
Андрей Букин начал заниматься фигурным катанием в семилетнем возрасте в ЦСКА. В 10 лет был переведен в группу танцев на льду, а в 1977 году начал тренироваться под руководством Татьяны Тарасовой, которая поставила его в пару с Натальей Бестемьяновой.
В 1978 году этот дуэт выиграл бронзу на чемпионате СССР, через год - серебро и отправился на Олимпиаду-1980, где занял высокое для дебютантов восьмое место.
В сезоне 1981/82 Бестемьянова и Букин впервые выиграли турнир на призы газеты «Московские новости» и чемпионат СССР, а также стали серебряными призерами чемпионатов Европы и мира. В следующем году выиграли на всех этих турнирах, кроме чемпионата мира.
На Играх-1984 в Сараево советская пара завоевала серебро, уступив лишь британскому дуэту Джейн Торвилл - Кристофер Дин. В том же году Букин и Бестемьянова стали вторыми на чемпионатах Европы и мира.
В новом олимпийском цикле подопечные Татьяны Тарасовой практически никому не проигрывали - занимали первые места на всех турнирах, в которых принимали участие (с 1985 по 1988 год танцевальная пара по четыре раза победила на чемпионатах мира и Европы), и отправились на Игры-1988 в Калгари в ранге безусловных фаворитов.
Здесь Бестемьянова и Букин не позволили усомниться в своем превосходстве, заняв первые места во всех видах программы.
После олимпийского триумфа Андрей Букин перешел в Театр ледовых миниатюр и принимал участие в чемпионатах мира среди профессионалов. Так, в 1989 году он стал серебряным призером, а в 1991 году - победителем соревнования.