Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; олимпийский чемпион (1976) в весовой категории до 74 кг; серебряный призер Олимпийских игр (1980); чемпион мира (1975); серебряный призер чемпионата Европы (1978); победитель Спартакиады народов СССР (1975); 2-кратный чемпион СССР (1975, 1980).
Родился 6 августа 1953 года в Магадане (Россия).
Анатолий Быков выступал за алма-атинское «Динамо» и первого крупного успеха на международных соревнованиях добился в 1971 году, победив на первенстве мира среди юношей. Через два года завоевал аналогичный титул на молодежном первенстве.
Став чемпионом Спартакиады народов СССР (звание приравнивалось к победе на чемпионате Советского Союза) в 1975 году, Быков заслужил право представлять страну на чемпионате мира в Минске и оправдал доверие тренеров. Золотая медаль Анатолия стала одной из восьми, завоеванных советскими борцами на этом турнире в десяти весовых категориях.
В следующем году Быков выиграл все свои схватки в весовой категории до 74 кг на Играх-1976 в Монреале и поднялся на верхнюю ступень пьедестала почета.
Через четыре года на домашних Играх-1980 в Москве он не сумел защитить титул олимпийского чемпиона, уступив в решающей встрече венгру Ференцу Кочишу. Как спустя много лет рассказал Быков, это был один из тех случаев, когда руководство решило «поделиться» золотыми медалями с приехавшими на Олимпиаду гостями. Несмотря на то что он постоянно атаковал, получал предупреждения за пассивность.
Завершив выступления, Анатолий Михайлович работал тренером и главным тренером сборной Казахстана по греко-римской борьбе (1982-1987), начальником физической подготовки полка спецназа Внутренних войск МВД СССР, был участником миротворческих операций на территории СССР (1987-1989).
С 1988 по 1991 год Быков возглавлял Всеказахстанскую ассоциацию восточных единоборств, являлся также членом исполкома Олимпийского комитета Казахстана (1990-1994).
В середине 1990-х переехал на постоянное место жительства в Канаду, где занимался строительным бизнесом.