Регалии: Заслуженный мастер спорта; финалист Кубка Дэвиса (1995); полуфиналист Ролан Гаррос (1989) в одиночном разряде; 2-кратный победитель турниров серии Мастерс в Монте-Карло (1990) и Монреале (1991); 5-кратный победитель турниров АТР (1987, 1988, 1989 - 2 победы, 1990); 8-кратный финалист турниров АТР. Высшая позиция в рейтинге АТР - 9 место (апрель 1991 года).
Родился 2 февраля 1966 года в Москве.
Андрей Чесноков - первый россиянин, сумевший победить в одиночном разряде на турнире серии Мастерс. Чесноков выиграл в 1990 году в Монте-Карло, причем в финале обыграл Томаса Мустера из Австрии, который в том сезоне выиграл все крупные турниры на грунте.
На турнирах Большого шлема высшим достижением Чеснокова является полуфинал «Ролан Гаррос-1989», где россиянин уступил будущему победителю 17-летнему американцу Майклу Чангу.
В полуфинале Кубка Дэвиса 1995 года Чесноков обыграл немца Михаэля Штиха в пяти сетах, отыграв по ходу матча девять матчболов, за что получил от президента России Бориса Ельцина орден Мужества.
В 2000 году Андрей Чесноков объявил о завершении карьеры. Несколько месяцев он являлся личным тренером будущей первой ракетки мира Марата Сафина.