Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; олимпийский чемпион (1952) в весовой категории до 60 кг; 2-кратный чемпион мира (1954, 1955); 2-кратный серебряный призер чемпионатов мира (1950, 1953); 6-кратный чемпион Европы (1950, 1952, 1954, 1955, 1956, 1957); серебряный призер чемпионата Европы (1953); 5-кратный чемпион СССР (1949, 1951, 1954, 1955, 1960).
Родился 23 марта 1929 года в Тбилиси (Грузия).
Рафаэль Чимишкян начал заниматься тяжелой атлетикой в 17-летнем возрасте. Все получилось случайно: со сверстниками затеяли игру, смысл которой был в том, чтобы столкнуть соперника в воды Куры. Несмотря на небольшой рост, Рафаэль с легкостью побеждал всех своих друзей, он и не знал, что за их забавой наблюдает тренер клуба штангистов. Это было в августе 1946 года, а в декабре Чимишкян уже выступал на сборную Грузии на чемпионате СССР и занял девятое место.
В 1948 году выполнил норматив мастера спорта, а в 1949-м был включен в состав сборной Советского Союза и установил свой первый мировой рекорд - 92,5 кг в рывке.
Перед чемпионатами мира и Европы 1950 года в Париже Чимишкян считался вторым номером в полулегкой весовой категории, но тут выяснилось, что Ивану Удодову (бывшему узнику Бухенвальда) не разрешили выезд во Францию. Рафаэлю предложили сбросить четыре килограмма и выступить в наилегчайшем весе. На чемпионате Европы он завоевал золотую медаль, а на чемпионате мира - серебряную, установив мировой рекорд в рывке - 97,5 кг.
На Олимпиаду-1952 Чимишкян отправился после перенесенного воспаления легких и после жима проигрывал главным конкурентам пять килограммов, однако в своем коронном движении, рывке Рафаэль сумел догнать соперников, а в толчке зафиксировал 135 кг и стал олимпийским чемпионом с мировым рекордом в сумме троеборья - 337,5 кг.
Несмотря на то что Чимишкян еще несколько лет показывал выдающиеся результаты, на Игры-1956 его не взяли. По официальной версии, из-за болезни, но сам штангист впоследствии утверждал, что был абсолютно здоров.
За 17 лет выступлений Рафаэль Чимишкян установил 14 мировых рекордов. Позже стал судьей международной категории, почетным вице-президентом федерации тяжелой атлетики Грузии. В 2000 году был признан лучшим штангистом Грузии ХХ века.
Скончался 25 сентября 2022 года в Тбилиси (Грузия).