Регалии: Олимпийский чемпион (2002); серебряный призер чемпионата мира (1996); серебряный призер Кубка мира (1996).
Родился 29 апреля 1967 года в Кесуике, Онтарио (Канада).
Кёртис стал вратарем, потому что не умел кататься на коньках. Старшие мальчишки ставили его в ворота во время своих дворовых баталий, а он постепенно пристрастился к игре в рамке. Прошел путь с самых низших любительских лиг до НХЛ, в которой провел 19 сезонов.
С «Торонто Мейпл Лифс» Джозеф дважды доходил до финала Восточной конференции. Он является голкипером с наибольшим количеством побед в регулярных чемпионатах из тех, кто не выигрывал Кубок Стэнли и четвертым по количеству побед среди всех вратарей лиги.
Олимпийский чемпион-2002 знаменит неповторимой раскраской своего вратарского шлема, на котором изображены рычащие собаки. Этот рисунок, а также прозвище «Куджо» (анаграмма первых букв имени и фамилии - CuJo) взято Джозефом из одноименного романа Стивена Кинга.
Завершил карьеру в 42 года, затем перешел на тренерскую работу.