Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; олимпийский чемпион (1976) в эстафете 4х7,5 км; бронзовый призер Олимпийских игр (1976) в гонке на 20 км; чемпион мира (1977) в эстафете 4х7,5 км; 3-кратный серебряный призер чемпионатов мира (1975 - 2 медали, 1976) в спринте (дважды) и эстафете; 2-кратный чемпион СССР (1973, 1975).
Родился 7 марта 1952 года в деревне Вязовка Пензенской области (Россия).
Александр Елизаров (на снимке - в центре), как и многие биатлонисты, начинал заниматься лыжными гонками. В какой-то момент попробовал себя в новом виде и уже в 1973 году стал победителем первенства мира среди юниоров, а в 1975-м стал членом главной сборной страны. Чтобы лучше подготовиться к предстоящим Олимпийским играм, переехал в подмосковные Мытищи, где устроился на работу на местный машиностроительный завод.
На Играх-1976 в Инсбруке Елизарову доверили первый этап эстафеты, в дальнейшем Иван Бяков, Николай Круглов-старший и Александр Тихонов не допустили ни одного промаха, и советская команда финишировала первой с отрывом в 3 минуты 50 секунд от завоевавших серебро финнов.
Неделей ранее в индивидуальной гонке на 20 км Елизаров стал обладателем бронзовой медали, уступив 12 секунд серебряному призеру финну Хейкки Иколе, а первенствовал в этой гонке Николай Круглов.
Завершив карьеру, Александр Елизаров несколько лет возглавлял молодежную сборную СССР, затем создал в Мытищах специализированную ДЮСШ по биатлону, стал первым президентом федерации биатлона Московской области.
В 2002 году получил звание Заслуженный тренер России.