Регалии: 2-кратный серебряный (2008, 2009) и 2-кратный бронзовый (2005, 2011) призер чемпионата России; серебряный призер молодежного чемпионата мира (2005).
Родился 2 мая 1985 года в Ярославле (Россия).
Воспитанник школы ярославского «Локомотива», в составе «Локомотива-85» трижды выигрывал первенство России, затем выступал за «Локомотив-2». В 2004-м дебютировал в составе главной команды. Выступал на позиции правого нападающего, но был универсальным игроком. Так, в 2009-м на Кубке Карьяла провел в составе сборной России три матча на позиции защитника.
7 сентября 2011 года попал в авиакатастрофу, когда в Ярославле при взлете разбился самолет Як-42, на котором основной состав клуба «Локомотив» вылетел на игру КХЛ в Минск.
Александр Галимов оказался единственным выжившим в авиакатастрофе хоккеистом, он самостоятельно выбрался из самолета и был доставлен в одну из больниц Ярославля в очень тяжелом состоянии с травмами и ожогами 90 процентов тела, ожогом дыхательных путей, ушибом левого легкого и подозрением на ушиб почки.
На следующий день был доставлен в ожоговый центр Московского НИИ имени Вишневского. Врачи до конца боролись за его жизнь, однако утром 12 сентября состояние хоккеиста стало ухудшаться и в 9.30 Александр Галимов, не приходя в сознание, скончался.
Похоронен 13 сентября после прощания на ледовой «Арене-2000» на Чурилковском кладбище Ярославля.