Родился 21 февраля 1863 года в селе Русские Краи Вятской губернии (Россия).
Александр Галицкий воспитывался в семье сельского священника. Шахматами увлекся во время учебы в медицинском институте. В дальнейшем всю жизнь работал врачом в Вятской, Казанской и Саратовской губерниях.
Галицкий не стремился участвовать в турнирах, он являлся шахматным композитором, составителем разнообразных задач и этюдов. В общей сложности опубликовал 1860 шахматных композиций и еще около тысячи его задач остались неизданными.
Александр Галицкий неоднократно принимал участие в международных конкурсах, свыше 30 его этюдов были отмечены различными жюри, а 10 задач принесли Галицкому победы в конкурсах.
Скончался 18 ноября 1921 года в Саратове (Россия).