Регалии: Олимпийский чемпион (2016); 2-кратный бронзовый призер Олимпийских игр (2008, 2012); 2-кратный чемпион мира (2009, 2015); серебряный призер чемпионата мира (2011); 4-кратный чемпион Европы (2006, 2012, 2014, 2016); серебряный (2008) и бронзовый (2010) призер чемпионатов Европы.
Родился 22 августа 1982 года в Белграде (Сербия).
Живко Гоцич начинал карьеру в белградском «Партизане», за который выступал с 1998 по 2003 год, затем играл за «Ниш» (2003-2005), а с 2005 по 2007 год защищал цвета московского «Динамо», после чего вернулся в «Партизан».
В составе сборной Сербии Гоцич трижды принимал участие в Олимпиадах. На Играх-2008 сербская команда уступила в полуфинале сборной США (5:10), а затем в матче за третье место обыграла сборную Черногории (6:4).
Через четыре года в Лондоне-2012 Живко Гоцич вновь стал бронзовым призером и вновь в матче за медали Сербия взяла верх над Черногорией (12:11).
Главного успеха в карьере добился на Играх-2016 в Рио-де-Жанейро, где сборная Сербии играла в ранге действующего чемпиона мира и действующего чемпиона Европы. Команда не позволила усомниться в своем превосходстве и на олимпийском турнире, победив в четвертьфинале испанцев (10:7), в полуфинале - итальянцев (10:8) и в финале - хорватов (11:7).