Регалии: Заслуженный мастер спорта; бронзовый призер Олимпийских игр (2016); чемпионка (2013) и серебряный призер (2009) Универсиад; серебряный призер Мировой лиги (2013); финалистка Суперкубка Европы (2013) и финалист Кубка Len Trophy (2013); обладательница Кубка России (2011); многократный призер чемпионатов России.
Родилась 31 января 1988 года в Волгодонске (Россия).
Анна Гринёва - воспитанница спортшколы Волгодонска. Выступала на позиции защитника за местную «Юность» (2004-2009), затем за московский СКИФ ЦСП «Измайлово» (2009-2014). В 2014 году перешла в волгоградский «Спартак».
В составе сборной России Анна Гринёва стала бронзовым призером Олимпиады. На Играх-2016 в Рио-де-Жанейро российская команда сначала выступала неудачно, победив на групповом этапе лишь сборную Бразилии, но уступив сборным Австралии и Италии. Однако в четвертьфинале подопечные Александра Гайдукова неожиданно для многих взяли верх над сборной Испании - 12:10.
В полуфинале вновь последовало поражение от итальянок - 9:12, но в матче за третье место против венгерской команды россиянки на последних секундах ушли от поражения (12:12), а затем взяли верх в серии пенальти - 7:6.