Родился 23 октября 1977 года в Тбилиси (Грузия).
Александр Иашвили - нападающий. Начав карьеру в тбилисском «Динамо», демонстрировал отменную результативность - в сезоне-1994/95 забил 24 мяча в 24 матчах, а в следующем чемпионате - 26 мячей в 25 матчах.
В 1997 году переехал в Германию, где защищал цвета клубов «Любек» (1997), «Фрайбург» (1997-2007), «Карлсруэ» (2007-2012), «Бохум» (2012-2013). В дальнейшем выступал за бакинский «Интер» (2013-2014), грузинские «Самтредиа» (2015) и «Динамо» Тбилиси (2015-2016).
За сборную Грузии Иашвили выступал с 1998 по 2011 год. Провел в составе национальной команды 67 матчей, забил 15 мячей.