Регалии: Заслуженный мастер спорта; 2-кратный чемпион СССР (1965, 1969); 2-кратный обладатель Кубка СССР (1968, 1971); 2-кратный обладатель приза «Вратарь года» (1965, 1967).
Родился 19 июля 1940 года в Батуми, Аджария (Грузия).
Анзор Кавазашвили считался в СССР вратарем номер два после Льва Яшина. Он не раз был дублером Льва Ивановича на крупных международных турнирах, в том числе на чемпионате мира 1966 года, где сборная СССР заняла четвертое место.
На клубном уровне выступал за тбилисское «Динамо», ленинградский «Зенит», московские «Торпедо» и «Спартак». Завершал карьеру в кутаисском «Торпедо» и костромском «Спартаке».
Некоторое время работал тренером в таких экзотических странах, как Чад и Гвинея.
Занимал ответственные посты в федерации футбола РСФСР и Госкомспорте России.
Основал и возглавил Всероссийскую ассоциацию футбола.
В Российском футбольном союзе был главой экспертного комитета при президенте РФС по выявлению договорных матчей.