Регалии: Олимпийский чемпион (1972) в опорном прыжке; 3-кратный бронзовый призер Олимпийских игр (1964, 1968, 1972) в командном первенстве; бронзовый призер чемпионата мира (1970) в упражнениях на перекладине; 2-кратный чемпион Европы (1971, 1973) в упражнениях на перекладине; серебряный (1971) и 3-кратный бронзовый (1971, 1973 - 2 медали) призер чемпионатов Европы в отдельных упражнениях.
Родился 27 февраля 1943 года во Франкфурте-на-Одере (Германия).
Клаус Кёсте начал заниматься в родном Франкфурте-на-Одере, потом переехал в Лейпциг, где поступил в институт физкультуры. На чемпионатах ГДР с 1961 по 1974 год завоевал в общей сложности 34 медали разного достоинства.
Кёсте участвовал в трех Олимпиадах и на каждой выиграл по бронзовой медали в командном первенстве. На последних для себя Играх в Мюнхене стал олимпийским чемпионом в опорном прыжке.
Завершив выступления из-за травмы, Кёсте работал тренером по гимнастике в спортклубе «Лейпциг». С 2001 по 2004 год отвечал в немецкой федерации гимнастики за подготовку и проведение масштабных мероприятий.
Скончался 14 января 2012 года в Вурцене, Саксония (Германия).