Регалии: Заслуженный мастер спорта; чемпион мира (2010) в стрельбе из скорострельного пистолета; 2-кратный серебряный (2006, 2010) и бронзовый (2014) призер чемпионатов мира в командном первенстве; серебряный призер Европейских игр (2015) в стрельбе из скорострельного пистолета; 4-кратный чемпион Европы (2007, 2009, 2011, 2015) в стрельбе из пистолета; 5-кратный серебряный (2001, 2003, 2013 - 2 медали, 2015) и бронзовый (2015) призер чемпионатов Европы; 2-кратный чемпион России (2012, 2013); 3-кратный обладатель Кубка России (2006, 2008, 2009).
Родился 27 августа 1975 года в Томске (Россия).
Алексей Климов в раннем возрасте вместе с родителями переехал в город Сосновый Бор Ленинградской области, где позже и начал заниматься стрельбой в клубе «Нейтрон». Специализировался в стрельбе из пистолета. После службы в армии остался служить по контракту и выступал за ЦСКА.
В сборную России был включен в 1993 году, стал четырехкратным чемпионом Европы в личном зачете, а также чемпионом мира в стрельбе из скорострельного пистолета с 25 метров.
Климов трижды принимал участие в Олимпиадах, но на Играх-2008 в Пекине, Играх-2012 в Лондоне и Играх-2016 в Рио-де-Жанейро призовых мест не занимал.