Регалии: Заслуженный мастер спорта; олимпийский чемпион (2014) в командном первенстве; серебряный призер Олимпийских игр (2014) в парном катании (в дуэте с Ксенией Столбовой); серебряный призер чемпионата мира (2014); 3-кратный серебряный (2014, 2015, 2018) и бронзовый (2012) призер чемпионатов Европы; 2-кратный чемпион России (2014, 2015); чемпион Универсиады (2014).
Родился 7 сентября 1990 года в Ленинграде (Россия).
В одном из интервью Федор Климов пошутил, что у него не было выбора, каким видом спорта заниматься, поскольку его мама - тренер по фигурному катанию. Федор встал на коньки в 4-летнем возрасте и занимался в группе «одиночников». В 16 лет перешел в парное катание. До 2009 года выступал с Александрой Малаховой и Марией Чащиной, пока тренер Людмила Великова не поставила Федора в пару с Ксенией Столбовой.
На Олимпиаде-2014 в Сочи Ксения и Федор завоевали золото в командном первенстве и серебро в соревновании спортивных пар, уступив только Татьяне Волосожар и Максиму Транькову.
В дальнейшем российский дуэт выступал неровно из-за травм, завоевал еще одно серебро на чемпионате Европы-2018 в Москве, но к участию в Олимпиаде-2018 в Пхенчхане МОК Столбову и Климова не допустил.
Завершив карьеру, Федор Климов перешел на тренерскую работу.