Регалии: 2-кратный серебряный призер Олимпийских игр (1924) в одиночном и парном разряде; 4-кратный победитель Открытого чемпионата Франции (1926, 1928, 1930, 1932) в одиночном разряде; 2-кратный победитель Уимблдона (1927, 1929) в одиночном разряде; победитель Открытого чемпионата США (1928) в одиночном разряде; 3-кратный победитель Открытого чемпионата Франции в (1927, 1930, 1932) в парном разряде; 2-кратный победитель Уимблдона (1926, 1928) в парном разряде; победитель Открытого чемпионата США (1927) в миксте; 2-кратный победитель Открытого чемпионата Франции (1928, 1929) в миксте; победитель чемпионата мира на грунтовых кортах (1922); 6-кратный обладатель Кубка Дэвиса в составе сборной Франции.
Родился 14 декабря 1901 года в Лионе (Франция).
Анри Коше - один из «четырех мушкетеров», как называли лучших представителей французского мужского тенниса. Кроме Анри Коше, в него входили Жан Боротра, Рене Лакост и Жак Брюньон. Этот квартет шесть раз становился обладателем Кубка Дэвиса - неофициального мирового первенства среди национальных сборных.
Коше в 1921 году перебрался из Лиона в Париж и сразу же начал одерживать победы на соревнованиях, в том числе международных. Так, он стал победителем чемпионата мира на грунтовых кортах, а затем принялся выигрывать на турнирах Большого шлема.
В общей сложности на его счету 15 побед - 7 в одиночном разряде, 5 в парном разряде и 3 - в миксте. С 1928 по 1931 год Анри Коше считался первой ракеткой мира.
В 1933 году перешел в профессионалы, но выступал в этом качестве недолго. После Второй мировой войны вернулся в любители и даже одержал победу на турнире в Церматте в 45-летнем возрасте. Позже содержал магазин спортивной одежды и давал частные уроки тенниса.
Скончался 1 апреля 1987 года в Сен-Жермен-ан-Ле (Франция).