Регалии: Победитель Открытого чемпионата Франции (2002) в одиночном разряде; бронзовый призер Олимпийских игр (2000) в мужском парном разряде; обладатель Кубка Дэвиса (2000); обладатель командного Кубка мира (1997); 12-кратный победитель турниров АТР в одиночном разряде.
Родился 25 июня 1975 года в Льейде, Каталония (Испания).
Альберт Коста стремительно ворвался в элиту мирового тенниса. В 18-летнем возрасте вышел в финал Открытого чемпионата Франции среди юношей и выиграл один из главных юниорских теннисных турниров, Orange Bowl. В том же году он начал выступления в профессиональных теннисных турнирах. Уже в этом году ему удалось дойти до полуфинала «челленджера» в Кошице и четвертьфинала турнира ATP в Чили.
В январе 1994 года Коста выиграл «челленджер» в Мар-дель-Плата (Аргентина), а в мае еще один в Турине, благодаря чему вошел в первую сотню рейтинга ATP. В сентябре он был уже в 50 лучших, а по итогам сезона удостоился награды ATP в категории «Новичок года». Высшая позиция Косты в одиночном разряде - 6 место (июль 2002 года).
После окончания карьеры перешел на тренерскую работу. Возглавлял сборную Испании в розыгрышах Кубка Дэвиса с 2008 по 2011 годы. С 2009 года работал также спортивным директором турнира «Barcelona Open Banc Sabadell».