Регалии: Заслуженный мастер спорта; бронзовый призер Олимпийских игр (2004); обладатель Кубка Кубков европейских стран (2006); 4-кратный чемпион России.
Родился 5 июля 1973 года в Ярославле (Россия).
Голкипер. Закончил Волгоградский университет физкультуры, выступал за волгоградский «Каустик» (1990-2004, 2013-2014), "Университет Лесгафта-Нева" (2008-2012), СГАУ-Саратов (2015), однако главные свои клубные победы одержал в составе "Чеховских медведей" (2004-2008), с которыми стал многократным чемпионом России и обладателем Кубка Кубков.
В составе сборной России Костыгов завоевал бронзу на Играх-2004 в Афинах. Здесь россияне с трудом вышли из группы (2 победы и 3 поражения), однако в четвертьфинале взяли верх над французами - 26:24, что позволило продолжить борьбу за медали. В полуфинале команда проиграла сборной Германии - 15:21, а в матче за третье место обыграла сборную Венгрии - 28:26.
На чемпионатах мира 2003 года и Европы 2004 года Алексей Костыгов тоже защищал ворота сборной России, но она оба раза заняла пятое место.