Регалии: Заслуженный мастер спорта; серебряный (2000) и 2-кратный бронзовый (2004, 2008) призер Олимпийских игр; серебряный призер чемпионата мира (2002); серебряный призер Кубка мира (2007); серебряный (2007) и 2-кратный бронзовый (2001, 2003) призер чемпионатов Европы; победитель (2002), 2-кратный серебряный (2000, 2007) и 3-кратный бронзовый (2006, 2008, 2009) призер Мировой лиги; победитель (2005) и серебряный призер (2004) Евролиги; победитель молодежных первенств Европы (1998) и мира (1999); 3-кратный победитель Лиги чемпионов (2003, 2004, 2016); 7-кратный чемпион России (1998, 2000, 2002, 2003, 2004, 2006, 2016); 4-кратный обладатель Кубка России (1998, 2003, 2006, 2015); обладатель Суперкубка России (2015).
Родился 24 февраля 1979 года в Фрязино Московской области (Россия).
Алексей Кулешов - центральный блокирующий (рост - 206 см), воспитанник щелковской спортивной школы и подмосковного клуба «Искра», в составе которого дебютировал в сезоне-1996/97.
В дальнейшем выступал за «Локомотив-Белогорье» (1997-2004), московское «Динамо» (2004-2007), одинцовскую «Искру» (2007-2013), нижегородскую «Губернию» (2013-2015). В 2015 году перешел в казанский «Зенит».
Кулешов - участник трех Олимпиад, на которых вместе со сборной России стал серебряным и дважды бронзовым призером. На Играх-2000 в Сиднее россияне неожиданно уступили в финале сборной Югославии - 0:3 (22:25, 22:25, 20:25).
Через четыре года в Афинах-2004 сборная России в полуфинале проиграла сборной Италии (0:3), а затем в матче за третье место взяли верх над американцами - 3:0. Алексей Кулешов был признан лучшим блокирующим этого турнира, а по итогам года удостоился приза Андрея Кузнецова - награды, которая вручается лучшему волейболисту года в России.
Еще одну попытку завоевать золото Кулешов вместе с командой предпринял на Играх-2008 в Пекине, но здесь россияне в полуфинале проиграли сборной США (2:3) и снова вынуждены были довольствоваться борьбой за бронзу, в которой не оставили шансов итальянцам - 3:0.