Регалии: чемпион серии GP3 (2013); победитель серии Формула-Рено 2.0 Альпы (2012); пилот года в России (2013).
Родился 26 апреля 1994 года в Уфе (Россия).
С детства занимался теннисом, выиграл несколько школьных турниров. Когда семья переехала в Москву, Даниил увлекся картингом и сразу стал показывать хорошие результаты.
Первую победу одержал в 2005 году на Рождественском Кубке Сочи. В этом же году участвовал в чемпионате России по картингу, заняв 12 место.
Участие в итальянских чемпионатах MiniKart требовало постоянных перелетов из Москвы в Европу, что в итоге стало причиной переезда в Рим в 2007 году.
Вскоре на Квята обратила внимание команда Лукойл Рейсинг и включила его в свою международную программу поддержки молодых пилотов, а в 2010 году Даниил подписал контракт с Red Bull Junior Team.
В 2012 году Квят стал победителем первенства двухлитровой Формулы-Рено и перешел в Формулу-3, где выступал в составе команды MW Arden. Здесь на новой технике он сначала чувствовал себя неуверенно, но во второй половине чемпионата заметно прибавил. Выиграл три гонки подряд и сначала догнал группу лидеров, а затем и вырвался вперед, обойдя ближайшего преследователя на 30 очков. Так Квят стал чемпионом серии GP3 2013 года.
В том же году в команде Red Bull, выступающей в Формуле-1, образовалась вакансия из-за ухода Марка Уэббера. Его заменил Даниэль Риккардо, освободив в свою очередь место в Toro Rosso (дочерняя команда Red Bull ) проявившему себя россиянину.
Даниил Квят стал первым в истории пилотом, кто перешел из GP3 сразу на место боевого пилота Формулы-1. (Валттери Боттас шел тем же путем, но он пробыл год в качестве тест-пилота команды Формулы-1).
В июле Даниил Квят выступил в молодежных тестах Формулы-1, проходивших в Сильверстоуне. 21 октября Toro Rosso официально объявила о том, что российский гонщик становится основным пилотом команды в 2014 году.
С первых Гран-при Квят стал показывать сопоставимые с напарником результаты. Хотя и уступил Жан-Эрик Верню в личном зачете (Квят занял 15 место, Вернь - 13 место), но существенно превзошел его в квалификациях (12:7). Руководство команды осталось довольно работой Квята и продлило с ним контракт на 2015 год.
А потом произошла еще одна сенсация: после решения Себастьяна Феттеля покинуть RedBull (в этой команде он завоевал четыре титула), было официально объявлено, что на сезон-2015 на место немца из Toro Rosso возьмут не более опытного Верня, а именно Даниила.
Даниил Квят был признан лучшим гонщиком России 2013 года и удостоен премии «Пилот года» Российской автомобильной федерации.
Наиболее успешно выступил за "Ред Булл" в сезоне-2015, сумев набрать 95 очков и занять седьмое место в личном зачете.