Регалии: Заслуженный мастер спорта; серебряный призер чемпионата мира (2002); чемпион России (1997); бронзовый призер чемпионатов России (1998, 1999); финалист Кубка Стэнли (2000); победитель (1999), серебряный (1998) и бронзовый (1997) призер молодежных первенств мира.
Родился 2 мая 1979 года в Мурманске (Россия).
Выступал на позиции центрального нападающего за ярославское «Торпедо», в составе которого стал чемпионом и дважды бронзовым призером национального первенства страны. Был капитаном молодежной сборной России (1999), завоевавшей золотые медали молодежного чемпионата мира (игроки не старше 20 лет).
В 20 лет дебютировал в НХЛ, с «Даллас Старз» дошел до финала Кубка Стэнли, но клуб уступил в серии из шести матчей «Нью-Йорк Дэвилз». В марте 2002 года был обменян в «Нью-Йорк Рейнджерс». Следующий сезон Ляшенко провел в фарм-клубе и, по некоторой информации, вел переговоры о возвращении в Россию - в тольяттинскую «Ладу» или ярославский «Локомотив».
В 2002 году Ляшенко впервые получил приглашение в первую сборную России и принял участие в чемпионате мира-2002. Клуб «Рейнджерс» не хотел отпускать игрока на турнир, но Федерация хоккея России настояла на своем, пригрозив обращением в суд. Роман прибыл в распоряжение сборной вовремя.
В Швеции россияне стали серебряными призерами, уступив в финале сборной Словакии - 3:4.
Роман скончался в 24-летнем возрасте при невыясненных обстоятельствах. Его тело было обнаружено утром 7 июля 2003 года в отеле в турецкой Анталье, где Ляшенко отдыхал с матерью и сестрой. Согласно заключению экспертов, смерть наступила накануне вечером.
По официальной версии, Роман сначала пытался вскрыть себе вены, а затем повесился, использовав ремень для брюк. В номере была найдена предсмертная записка, в которой Ляшенко якобы просит прощения за свой поступок и объясняет его некой неизлечимой болезнью.
Вскрытие никаких патологий и заболеваний не обнаружило. Родные факт самоубийства категорически не признали и потребовали от турецкой полиции тщательного расследования происшедшего. Однако оно не принесло результатов.
Похоронен на Леонтьевском кладбище Ярославля.
Смерть Романа продолжила странную цепочку трагедий, связанных с ярославским хоккеем. В январе 2003 года при странных обстоятельствах на балконе своей квартиры застрелился тренер ярославского клуба Алексей Трасеух. В июне того же года в аварию попал близкий друг Романа - игрок «Локомотива» Владимир Антипов. Сам он выжил, но супруга погибла. В 1999-м в автокатастрофе разбился игрок ярославского «Торпедо» Владимир Жашков, а 7 сентября 2011 года произошла авиакатастрофа, в которой погибли все хоккеисты команды.