Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; Заслуженный тренер СССР; чемпион мира (1955) в тяжелом весе; 4-кратный чемпион СССР (1944, 1945, 1947, 1949); 6-кратный серебряный (1946, 1948, 1950, 1951, 1952, 1953) и 2-кратный бронзовый (1943, 1954) призер чемпионатов СССР.
Родился 30 августа 1913 года в деревне Поповка Винницкой области (Украина).
Александр Мазур начал заниматься классической (греко-римской) борьбой под впечатлением от цирковых чемпионатов по борьбе. В 1934 году он сам начал выступать на этих представлениях под псевдонимом Богатырев, познакомился с выдающимися российскими борцами Иваном Поддубным и Иваном Заикиным.
В первые дни Великой Отечественной войны вся цирковая труппа приняла решение отправиться на фронт. Мазур тоже записался добровольцем, но в 1942 году его отозвали с фронта и отправили на учебу в институт физкультуры. В 1943 году он впервые принял участие в чемпионате СССР по борьбе и стал бронзовым призером в тяжелом весе.
В следующем году Мазур занял первое место и в дальнейшем еще трижды завоевывал золото чемпионатов страны.
В 1955 году 42-летний Александр Мазур стал чемпионом мира среди тяжеловесов. В финале ему противостоял 34-летний швед Бертиль Антонссон. Однако пятикратный чемпион мира ничего не смог поделать против советского «Богатырева».
Это было последнее выступление Александра Григорьевича, в дальнейшем он работал старшим тренером и начальником команды борцов ЦСКА. За почти 50 лет работы подготовил таких выдающихся атлетов, как Анатолий Киров, Анатолий Колесов, Георгий Вершинин, Александр Юркевич, Владимир Новохатько, Юрий Козин, Валерий Анисимов.
В течение 20 лет Мазур возглавлял Совет ветеранов спорта ЦСКА.
Скончался 16 декабря 2005 года в Москве.