Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; чемпион Европы (1960); чемпион СССР (1964).
Родился 12 января 1937 года в Тбилиси (Грузия).
Михаил Месхи играл на позиции левого нападающего. Всю карьеру провел в тбилисском «Динамо» (1954-1969) и только последний сезон в тбилисском «Локомотиве». В чемпионатах Советского Союза провел 284 матча и забил 54 мяча.
Месхи обладал виртуозной техникой, его знаменитый финт, которые так и называли - финт Месхи - ставил в тупик защитников. После товарищеского матча против сборной Аргентины (сборная СССР победила со счетом 2:1, оба мяча забил Виктор Понедельник) повидавшие виды латиноамериканцы устроили овацию советскому форварду, а газеты на следующий день рассыпались в комплиментах именно Месхи, которого журналисты называли «дьявольским дриблером».
За сборную СССР Месхи провел 35 матчей (4 гола), в том числе на чемпионате мира 1962 года и чемпионате (Кубке) Европы 1960 года, где советская сборная стала первым в истории обладателем континентального трофея.
Завершив выступления, с 1969 по 1991 год работал тренером и директором тбилисской специализированной детской футбольной школы «Аваза» (Тбилиси).
Скончался 22 апреля 1991 года в Тбилиси (Грузия). В честь Михаила Месхи назван стадион «Локомотив» в городе Тбилиси. В ноябре 2014 года у спортивной арены установлен бронзовый памятник футболиста в полный рост.