Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; олимпийский чемпион (1960) в весовой категории до 60 кг; серебряный призер Олимпийских игр (1956) в весовой категории до 60 кг; 2-кратный чемпионат мира (1957, 1962); 2-кратный серебряный призер чемпионатов мира (1958, 1961); 3-кратный чемпион Европы (1958, 1960, 1962); серебряный призер чемпионата Европы (1961); 7-кратный чемпион СССР (1957, 1958, 1959, 1961, 1963, 1965, 1966).
Родился 21 мая 1933 года в городе Клин Московской области.
Евгений Минаев выступал за Вооруженные Силы (Москва). На чемпионате СССР 1956 года установил мировой рекорд в жиме, однако занял итоговое четвертое место. Несмотря на этот результат, тренеры сборной СССР включили Евгений в резервный список. В итоге именно Минаев представлял СССР в весовой категории до 60 кг на Олимпиаде-1956 в Мельбурне. Здесь советский тяжелоатлет уступил американцу Исааку Бергеру и стал серебряным призером.
Противостояние Минаев - Бергер продолжалось еще долгие годы. Американец превзошел оппонента на чемпионатах мира 1958 и 1961 годов, но Евгений первенствовал на Олимпиаде-1960 в Риме, а также на чемпионатах 1957 и 1962 годов.
За годы карьеры Евгений Минаев установил 13 мировых рекордов и 15 рекордов СССР. Вместе с тем олимпийский чемпион отличался непростым характером. В середине 60-х Минаева отчислили из сборной СССР, несмотря на то что на тот момент он являлся действующим чемпионом страны.
Уйдя с помоста, Евгений Минаев некоторое время тренировал молодых штангистов, но затем бросил в Москве квартиру и машину и вернулся в родной Клин, где устроился механиком на ферму. В последние годы жизни не имел крыши над головой и ночевал на улице.
Скончался 8 декабря 1993 года в городе Клин Московской области.