Регалии: Заслуженный мастер спорта; серебряный призер Олимпийских игр (1998); 2-кратный чемпион мира (2008, 2009); бронзовый призер чемпионата мира (2007); обладатель Кубка европейских чемпионов (2007); 2-кратный обладатель Кубка Гагарина (2009, 2010); 3-кратный чемпион России (2006, 2009, 2010); серебряный призер чемпионата России (2007); обладатель Континентального кубка (2008); 4-кратный участник Матчей звезд КХЛ (2009, 2010, 2011, 2013).
Родился 16 февраля 1977 года в Москве.
Алексей Морозов - крайний нападающий, воспитанник московских «Крыльев Советов», за которые выступал с 1994 по 1998 год.
В дальнейшем защищал цвета клуба НХЛ «Питтсбург Пингвинз», казанского «Ак Барса» (2004-2013) и ЦСКА (2013-2014).
Главных успехов в клубной карьере добился в составе «Ак Барса», с которым дважды становился обладателем Кубка Гагарина (в сезоне-2008/09 был признан самым ценным игроком плей-офф Кубка Гагарина).
Морозов не только рекордсмен Континентальной хоккейной лиги по числу заброшенных в одном матче шайб (пять, 21 ноября 2008 года в ворота «Барыса» из Астаны), но и единственный хоккеист, которому удавалось забрасывать в одной игре одну, две, три, четыре и пять шайб.
В составе сборной России Алексей Морозов стал серебряным призером Олимпиады-1998 в Нагано (в финале россияне уступили сборной Чехии с футбольным счетом 0:1), а также двукратным чемпионом мира.
В августе 2014 года Алексей Морозов объявил о завершении карьеры.