Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; 3-кратная олимпийская чемпионка (1960, 1964 - 2 медали) в толкании ядра (дважды) и метании диска; серебряный призер Олимпийских игр (1960) в метании диска; 3-кратная чемпионка Европы (1958 - 2 медали, 1960); 16-кратная чемпионка СССР.
Родилась 10 мая 1937 года в Харькове (Украина).
Во время войны семья Пресс переехала в Самарканд. Здесь Тамара и начала заниматься толканием ядра и метанием диска под руководством Владимира Бессекретных.
В 1955 году тренер посоветовал Пресс перейти заниматься к знаменитому наставнику Виктору Алексееву, директору ленинградской спортшколы «Зенит».
У семьи не было средств, чтобы отправить Тамару в Ленинград. Помог случай - Пресс включили в юношескую сборную СССР для подготовки к матчевой встрече с Румынией. Сбор проходил летом в Москве. Здесь и произошла встреча Тамары с Алексеевым. Так она начала заниматься в одной группе со знаменитыми толкательницами ядра Зыбиной, Тышкевич, Дойниковой (вскоре к этой когорте присоединилась еще и сестра Тамары - Ирина Пресс).
Прошло совсем немного времени, и «иногородняя девушка» стала обыгрывать своих более опытных подруг. К началу 60-х Пресс уже была бесспорным лидером сборной и претендовала на самые высокие места на международных соревнованиях.
Ее серебро в метании диска на Олимпиаде в Риме воспринималось как досадное недоразумение. Через четыре года в Токио Тамара уже никому не позволила усомниться в своем превосходстве, хотя поначалу все складывалось для советской спортсменки неудачно. В квалификации она смогла послать снаряд всего на 50 метров 56 см и вышла в финал с шестым результатом. Время шло, тренеры нервничали, но Тамара собралась в самый нужный момент, в пятой попытке отправив диск на 57 метров 27 см.
Пресс очень хотела выступить на третьей Олимпиаде, но конкурировать с молодыми соперницами становилось все труднее. Выиграв в 1966 году все возможные соревнования, Тамара объявила о завершении карьеры.
Окончив Высшую партийную школу при ЦК КПСС, 12 лет работала заведующей культурно-массовым отделом ЦК профсоюзов рабочих строительства и промышленности строительных материалов. Одновременно на общественных началах тренировала группу легкоатлетов Московского государственного университета.
В 1974 году защитила диссертацию, стала кандидатом педагогических наук, заведовала кафедрой физкультуры в Московском педагогическом институте.
В середине 80-х снова вернулась в ВЦСПС, заведовала секторами культурно-воспитательной и клубной работы. А после распада ВЦСПС стала заместителем председателя физкультурно-спортивного общество профсоюзов «Россия».
Скончалась 26 апреля 2021 года в Москве.