Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; Заслуженный тренер Украины; 4-кратный чемпион СССР (1966, 1967, 1968, 1970); обладатель Кубка СССР (1966).
Родился 3 июня 1941 года в Саратовской области.
Начал играть в 1957 году за заводскую команду города Бердичев. Выступал за житомирское «Полесье» и львовский СКА. В 1964 году сборная игроков класса «Б» провела два товарищеских матча с киевским «Динамо», сразу после этих игр Пузача пригласили в главный клуб столицы Украины.
В следующем сезоне талантливый форвард получил сразу две медали - серебряную за второе место в чемпионате СССР и малую золотую за победу в турнире дублеров.
Анатолий Пузач вошел в историю дважды. В 1967 году он стал автором первого гола советских футболистов в Кубке европейских чемпионов (20 сентября в Глазго Пузач открыл счет уже на третьей минуте матча с «Селтиком»). А в 1970 году, когда ФИФА разрешила проводить замены в ходе игры, Пузач стал первым в мире игроком, вышедшим на замену (в матче открытия ЧМ-1970 Мексика - СССР он во втором тайме заменил Виктора Серебряникова).
После окончания карьеры игрока перешел на тренерскую работу. Долгие годы был помощником Валерия Лобановского в киевском «Динамо».
Скончался 19 марта 2006 года. Похоронен на Лесном кладбище в Киеве.