Родился 2 апреля 1988 года в Ленинск-Кузнецком Кемеровской области (Россия).
Алексей Сапогов - нападающий. Воспитанник спортивного интерната города Ленинск-Кузнецкий и школы московского «Локомотива». Играл за дублирующий состав московского «Торпедо» (2006-2008), клубы второго дивизиона «Зеленоград» (2007-2008), «Волга» Тверь (2009-2010), «Горняк» Учалы (2011-2012).
В 2012 году вернулся в «Волгу» и в первых девяти матчах сезона в премьер-лиге забил пять мячей.
В 2013 году пытался покинуть команду, а когда руководство клуба его не отпустило, объявил о завершении карьеры.
После этого проходил сборы с махачкалинским «Анжи», но так и не был заявлен за команду. Играл в чемпионате Латвии за «Спартак» из Юрмалы.
В 2016 году тренировался с ФК «Тюмень», но не подписал контракт, поскольку клубу запрещено было регистрировать новых футболистов.