Регалии: Чемпион Европы (2013); 2-кратный победитель Мировой лиги (2011, 2013); серебряный призер Всемирного Кубка чемпионов (2013); 2-кратный победитель Лиги чемпионов Европейской конфедерации волейбола (2015, 2016); 2-кратный чемпион России (2015, 2016); 3-кратный обладатель Кубка России (2014, 2015, 2018), обладатель Суперкубка России (2015).
Родился 26 июня 1988 года в поселке Ревякино Тульской области (Россия).
Выступал на позиции доигровщика (рост - 196 см). В сборной России дебютировал в 2011 году. Уже в следующем году был отчислен из главной команды страны за неоднократные нарушения спортивного режима и дисквалифицирован.
Однако вскоре дисквалификация была отменена, и Спиридонов вернулся на площадку, а затем и в сборную.
В 2014 году выступал на чемпионате мира в Польше. После матча с хозяевами турнира, результат которого лишил сборную России возможности побороться за медали, Спиридонов, по словам депутата Сейма Марека Матушевского, в ответ на провокации местных болельщиков якобы дважды плюнул в их сторону.
Ранее в матче Германия — Россия Алексей, празднуя успешное завершение одного из розыгрышей, повернулся к зрителям и «расстрелял» их из воображаемого автомата. Оба эпизода стали предметом разбирательства в дисциплинарном комитете Международной федерации волейбола. Спиридонов был дисквалифицирован на два официальных матча сборной России.
Выступал за "Искру" из Одинцово (2008-2012), "Урал" из Уфы (2012-2013, 2019-2020), "Факел" из Нового Уренгоя (2013-2014), казанский "Зенит" (2014-2016, 2018-2019), красноярский "Енисей" (2016-2018). В 2020 году отправился играть за границу, где защищал цвета клубов из Катара и ОАЭ.