Регалии: Международный гроссмейстер; чемпион Москвы (1983); чемпион России среди клубов (1994); бронзовый призер Кубка европейских чемпионов (1994); многократный победитель и призер международных турниров; победитель молодежных командных первенств мира (1976) и Европы (1977).
Родился 11 февраля 1950 года в Челябинске (Россия).
Евгений Свешников в 1973 и 1976 году дважды побеждал на Всесоюзных турнирах молодых мастеров, а также первенствовал на турнире, посвященном 30-летию Победы в Великой Отечественной войне (1975).
До распада Советского Союза Свешников девять раз участвовал в чемпионатах СССР, но ни разу не пробился в число призеров. Вместе с тем он успешно играл на крупных международных турнирах.
В начале 90-х Евгений Свешников переехал в Латвию и на протяжении более чем 20 лет представлял сборную этой страны на командных соревнованиях. В 2015 году вернулся в Россию.