Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; 2-кратный серебряный призер чемпионатов мира (1968, 1974) в групповых шоссейных гонках; 2-кратная чемпионка СССР (1968, 1969) в шоссейных гонках; 55-кратная чемпионка Латвии.
Родилась 12 августа 1945 года в Гулбенском крае (Латвия).
Байба Цауне (после замужества - Цауне-Морзика) в 1949 году вместе с матерью переехала в Томскую область, где и начала заниматься велоспортом. В 1955-м вернулась на родину и продолжила тренировки.
В 18-летнем возрасте была включена в молодежную сборную СССР. Тогда же впервые стала чемпионкой Латвии и побеждала в шоссейных гонках на республиканских соревнованиях 55 раз (на разных дистанциях), что является непревзойденным достижением для представителей латвийского велоспорта.
Цауне-Морзика дважды становилась серебряным призером на чемпионатах мира в Италии и Канаде, а после завершения карьеры долгие годы работала тренером в детско-юношеской спортивной школе в Саласпилсе.
За вклад в развитие спорта Латвии в 2004 году была награждена орденом Трех Звезд - высшей государственной наградой Латвийской Республики.
Скончалась 7 февраля 2015 года в Юрмале (Латвия).