Регалии: Заслуженный мастер спорта; Заслуженный тренер СССР; олимпийский чемпион (1964); 2-кратный чемпион мира (1960, 1962); бронзовый призер чемпионата Европы (1963); 8-кратный чемпион СССР (1954, 1955, 1957, 1958, 1960, 1963, 1965, 1966); обладатель Кубка европейских чемпионов (1960, 1962); победитель (1963) и 2-кратный серебряный призер (1956, 1959) Спартакиад народов СССР. В качестве тренера - 2-кратный серебряный призер Олимпийских игр (1972, 1976); серебряный призер чемпионата мира (1974); 2-кратный чемпион Европы (1971, 1975); 5-кратный обладатель Кубка европейских чемпионов; 10-кратный чемпион СССР.
Родился 22 января 1933 года в Москве.
Сын известного советского футболиста Бориса Чеснокова, Юрий решил посвятить себя волейболу. Выступал за ЦСКА (ЦСК/МО) и сборную Советского Союза, с 1960-го по 1964 год был ее капитаном. Вместе с командой завоевал золото Олимпиады-1964 в Токио, стал двукратным чемпионом мира.
Завершив выступления, в 1969 году перешел на тренерскую работу. Под его руководством ЦСКА 10 раз выигрывал чемпионат СССР и пять раз становился обладателем Кубка европейских чемпионов.
Со сборной Советского Союза дважды становился серебряным призером Олимпийских игр, серебряным призером чемпионата мира, 2-кратным чемпионом Европы.
В середине 80-х тренировал женскую команду ЦСКА, был главным тренером по волейболу в Вооруженных силах.
Более 30 лет занимал руководящие посты в Международной федерации волейбола, а в 2000 году первым из советских волейболистов был введен в Зал Волейбольной Славы в Холиоке (США). В том же году в России удостоился титула «Легенда спорта уходящего века».
Скончался 29 мая 2010 года в Москве.