Регалии: Заслуженный мастер спорта СССР; Заслуженный тренер СССР; 2-кратный серебряный призер чемпионатов мира (1946, 1950) в весовой категории свыше 82,5 кг; 2-кратный чемпион Европы (1947, 1950); 14-кратный чемпион СССР (1937-1940, 1943-1952); 3-кратный рекордсмен мира.
Родился 22 ноября 1915 года в Киеве (Российская империя).
Яков Куценко в довоенные годы четырежды побеждал на чемпионатах Советского Союза в тяжелом весе, причем в 1937 году в Тбилиси он обошел самого Серго Амбарцумяна, действующего чемпиона и рекордсмена страны.
В следующем году Яков продолжил прогрессировать и стал первым советским штангистом, поднявшим более 400 кг в сумме троеборья (410 кг).
После окончания Великой Отечественной Куценко дважды победил на чемпионатах Европы и дважды стал серебряным призером чемпионатов мира. В 1946-м в Париже он зафиксировал в сумме троеборья 415 кг и ровно 20 кг уступил американцу Джону Дэвису (интересно, что выступавший в весовой категории до 82,5 кг Григорий Новак набрал 425 кг).
На чемпионате мира-1950, который также проходил в Париже, Куценко показал результат 422,5 кг в троеборье и вновь не сумел составить конкуренцию американскому богатырю, которому в этот раз покорились 462,5 кг.
Тем не менее советский тяжелоатлет стал чемпионом Европы, поскольку результаты мирового первенства параллельно шли в зачет первенства континента.
Яков Куценко был знаменосцем советской команды на первых для спортсменов СССР Олимпийских играх-1952 в Хельсинки.
Завершив выступления, Яков Григорьевич перешел на тренерскую работу. С 1954 по 1965 год он являлся старшим тренером сборной Советского Союза по тяжелой атлетике, удостоившись звания Заслуженный тренер СССР.
Скончался 13 августа 1988 года в Киеве (Украина). Похоронен на Байковом кладбище.